By Siegmund Brandt
ISBN-10: 3658100680
ISBN-13: 9783658100681
ISBN-10: 3658100699
ISBN-13: 9783658100698
Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.
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Im Rechner wird statt des Maximums von das Minimum von − bestimmt. In [DA], Kap. 10, werden Algorithmen der Minimierung an Hand von Beispielen beschrieben. 2 Bestimmung unsymmetrische Fehler Messfehler sind nicht immer symmetrisch. Unsymmetrische Fehler treten insbesondere auf bei der Abzählung kleiner Stichproben ([DA], Abschn. 8), und in einigen Fällen von kleinsten Quadrate ([DA], Abschn. 13) und Maximum Likelihood ([DA], Abschn. 17). Zudem können Fehlergrenzen durch die allgemeineren Konfidenzgrenzen ersetzt werden, die auch an den zitierten Stellen diskutiert werden.
Der Grundgedanke ist folgender: Eine Messgröße x folgt der Wahrscheinlichkeitsdichte f (x, λ), die noch von dem unbekannten Parameter λ abhängt. Wird der Wert x1 gemessen, so war die Wahrscheinlichkeit für sein Eintreten proportional zu f (x1 , λ). Man spricht von einer a-posteriori-Wahrscheinlichkeit oder Likelihood. Für eine Messreihe x1 , x2 , . . , xN ist die Likelihood dann proportional zu dem Produkt L = f (x1 , λ)f (x2 , λ) · · · f (xN , λ). Der Parameter λ wird nun so bestimmt, dass die Likelihood-Funktion L (oder – gleichbedeutend – ihr Logarithmus = ln L) maximal wird.
R. Das führt zu 2AT Gy (c + Ax) = 0 . Für r ≤ n kann dieses Gleichungssystem aufgelöst werden. Die Lösung x = −(AT Gy A)−1 AT Gy c liefert Schätzungen xi für die zunächst unbekannten Parameter xi . Nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung ergibt sich für deren Kovarianzmatrix Cx = (AT Gy A)−1 . Auch für die wahren Werte η ergeben sich Schätzungen, η = A(AT Gy A)−1 AT Gy c − a0 , die als verbesserte oder ausgeglichene Messungen bezeichnet werden. Sie haben die Kovarianzmatrix C η = A C x AT . 2 Beispiel: Anpassung einer Geraden Tab.
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